二次剩余的概念解释
数论基本概念之一。若a、m的***公约数为1〔记为(a,m)=1〕,m整除(x^2-a)〔记为x^2≡ a(mod m)〕有解,则称a为模m的二次剩余(或平方剩余); 否则,称a为模m二次非剩余(或平方非剩 余)。解一般二次同余式ax2+bx+c≡0(mod m)的问题可归结为解x^2≡n(mod m)问题(见同余)。欧拉给出了判别条件:若p是奇素数,(a,p)=1,则a是模p的二次剩余的充分必要条件为a ^ (( p - 1) / 2)≡1(mod p );a是模p的二次非剩余的充分必要条件为a ^ (( p - 1) / 2)≡-1(modp)。称{k|0k≤m,(k,m)=1}为m的 简化剩余系。显然当m是奇素数p时,其简化剩余系令p-1个数 。若p是奇素数,a是整数,令
称为勒让德符号。若p,q为不同的奇素数,则
,
称为二次互反定律。它是初等数论中非常重要的结果,不仅可用来判断二次同余式是否有解,还有很多用途。C.F.高斯称它为算术中的宝石,他一人先后给出多个证明。
在数论中,特别在同余理论里,一个整数 X 对另一个整数 p 的二次剩余(英文:en:Quadratic residue)指 X 的平方 X2 除以 p 得到的余数。
当对于某个d及某个X,式子 X^2 equiv d pmod{p} 成立时,称“d是模p的二次剩余”
当对于某个d及某个X,X^2 equiv d pmod{p} 不成立时,称“d是模p的二次非剩余”
二次剩余
我们只需研究形如 的同余方程即可.
当 时,(3)仅有一个解 . 所以下面我们总假定 .
如果同余方程(3)有解,则称 是 模 的二次剩余 (在不引起混淆时,简称为二次剩余);否则称 时模 的二次非剩余(简称二次非剩余)
如果同余方程(3)有解,则同余方程(3)恰有两个解. 此外,若 是二次剩余,则模 同余类 中每个数都是二次剩余. 对于二次非剩余也是如此.
对每个整数 ,定义
设 时奇素数,则模 的任意完系中恰有 个二次剩余,以及 个二次非剩余;并且模 的全部二次剩余在
所属的模 的同余类中.
设 为素数,则模 的两个二次剩余之积时二次剩余,模 的一个二次剩余和一个而二次非剩余之积是而此非剩余,模 的两个二次非剩余之积是二次非剩余,模 的两个而此非剩余之积是二次剩余。
设 为奇素数,则
设 为奇素数,则
设 为奇素数,则
整数与多项式-【目录】
模p的所有二次剩余怎么表示
模p的所有二次剩余表示:在数论中,特别在同余理论里,一个整数X对另一个整数p的二次剩余指X的平方X2除以p得到的余数。
只要素数p和q中有一个mod4余1,则5261q是4102p的二次剩余当且仅当p是q的二次剩余;q是p的非二次剩余当1653且仅当p是q的非二次剩余。
当p和q均mod4余3时,q是p的二次剩余当权且仅当p是q的非二次剩余,q是p的非二次剩余当且仅当p是q的二次剩余。
每个二次剩余的乘法
逆元仍然是二次剩余;二次非剩余的乘法逆元仍然是二次非剩余。二次剩余的个数与二次非剩余的个数相等,都是。此外,两个二次非剩余的乘积是二次剩余,二次剩余和二次非剩余的乘积是二次非剩余。应用二次互反律可以知道,当p模4余1时,-1是p的二次剩余;如果p模4余3,那么,-1是p的二次非剩余。
关于二次剩余和求所有奇素数p,它以3为其二次剩余的介绍到此就结束了,不知道你从中找到你需要的信息了吗 ?如果你还想了解更多这方面的信息,记得收藏关注本站。