如何理解线性空间这一概念

线性空间是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何中引入向量的概念后，许多问题被处理得更加简洁明了。在此基础上，进一步抽象了域相关向量空间的概念。

实系数多项式集在定义了适当的运算后构成线性空间。用代数方法处理它们是方便的。定义了适当的运算后，单变量实函数集也构成线性空间。研究这类函数向量空间的数学分支称为函数分析。向量空间理论和方法在科学技术的各个领域有着广泛的应用。

设V是一个非空集合，P是一个域。若：

1、在v中，定义了一种运算，称为加法，即对于v中的任意两个元素，α+β按照一定的规则对应于v中唯一确定的元素，称为α和β之和。

2、在p和v元素之间定义一个运算，称为纯乘法（也称为量化乘法）。即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

扩展资料：

线性空间的线性映射：

若 V 和 W 都是域F上的向量空间，则可以设置v到w的线性变换或“线性映射”。从v到w的这些映射有一些共同点，即它们保持了和商和标量商。这个集合包含从v到w的所有线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是域F上的向量空间。当v和w被确定时，线性映射可以用矩阵来表示。

同构是一对一的线性映射。如果v和w之间存在同构，我们称这两个空间同构；场f上的每个n维向量空间都与向量空间f同构。

参考资料来源：百度百科-向量空间

参考资料来源：百度百科-度量线性空间

矩阵分析（一）线性空间

线性空间是定义在数域 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲数域，再讲线性空间

什么是数域？数域是一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中（举有封闭性），称为数域。如，有理数域 ，复数域 ，实数域

线性空间的定义：

注：

简单点说，上述 8 条，只要有任意一条不满足，则 就不是数域 上的线性空间（线性空间中的元素叫向量）

是数域，判断 是否为数域 上的线性空间

解：判断是否线性空间，只需要证明集合 在数域 上是否满足上述 8 条。这里明显满足条件，因此 是数域 上的线性空间

表示所有正实数集合，在 中定义加法 与数量乘法 分别为

判断 是否构成实数域 上的线性空间

解：通过证明交换律，结合律，零元素，负元素，数乘结合律，两个分配律。因此 是实数域 上的线性空间

设 是由系数在实数域 上，次数为 的 次多项式 构成的集合，其加法运算与数乘运算按照通常规定，举例说明 不是 上的线性空间

证略

线性空间

首先我们介绍线性空间的定义。

如果有空间V和数域F，在F中定义了四则运算且对其封闭，对于V中的成员x,y,z和F中的成员a,b，在V中定义了 “加法” ：x+y，在F和V上定义 “数乘” ：ax。

我们称V是 线性空间 ，如果它满足下面的10条性质：

其中要注意的是，所谓零元并不一定是0，所谓幺元也不一定是1.上面的 和 只是这里的一种记法而已。关于此，接下来会有说明。

我们令F为实属域R，下面的几个例子中，V都满足上面的10条性质，因此都可以称为线性空间：

对于一个线性空间V来说，它的零元是唯一的。这可以用反证法来说明：

同样的，对于某个在V中的x，其负元也是唯一的。这也可以通过类似的反证法说明：

请注意，上面的证明，是全部建立在线性空间的10条性质基础上的，并没有其它定义之外的任何操作。

那么我们要问，既然零元和负元具有唯一性，那么线性空间的幺元是否唯一呢？答案是否定的。

可以举这么一个例子来说明：V是只含元素0的空间。F取作R。可以验证，V是一个线性空间。但是它的幺元可以是F中的任意实数。这就说明，一个线性空间的幺元可以是不唯一的。这同时也说明幺元不一定是1.

最后，我们再来看一个例子：

这同时说明，只要定义合理，零元也不一定就是0.

线性空间定义的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于线性空间定义8条公理、线性空间定义的信息别忘了在本站进行查找喔。